Число 42,  яке є «відповіддю на головне питання життя, всесвіту і всяке таке», відоме також тим, що залишалось єдиним числом менше 100, яке не вдавалося розкласти в суму трьох кубів цілих чисел. Буквально на днях було знайдено такий розклад.

В теорії чисел, одним із напрямків досліджень є знаходження розв’язків діофантових рівнянь, або доведення, що таких розв’язків немає. Одним із самих відомих прикладів задач такого класу є теорема Ферма, доведення якої дав у 1994 Е. Уайлс.

Одною із відкритих задач такого класу, є задача про розклад будь-якого натурального числа в суму кубів трьох цілих чисел, тобто знаходження розв’язків діофантового рівняння

для різних натуральних k. Відомо, що для всіх натуральних чисел, які дають при діленні на 9 остачу 4 або 5 такого розкладу не існує. Гіпотеза полягає в тому, що для всіх інших натуральних чисел є хоча б один розклад. В загальному, дана задача не розв’язана і зараз, але математики активно шукають розклади для натуральних чисел. Приклади таких розкладів:

а для чисел 31 та 32 таких розкладів не існує.

Протягом 20-го століття була знайдені розлади майже для всіх натуральних чисел менше 100. На початок 2016 року таких чисел залашилося всього три 33, 42 та 74.

У 2016 році був знайдений розклад числа 74 в статті https://arxiv.org/abs/1604.07746. На початок 2019 року залишилось всього два таких числа 33 та 42. Весною 2019 року математик Ендрю Букер знайшов розклад для числа 33 у вигляді

Цей результат опубліковано у https://link.springer.com/article/10.1007/s40993-019-0162-1. І залишалось лише одне число, менше 100, яке не вдалося розкласти – 42.

Буквально на днях, на початку вересня Ендрю Букер та Ендрю Сазерленд (https://math.mit.edu/~drew/index.html) знайшли, нарешті, розклад для числа 42 у вигляді:

Тепер, найменше число, розклад якого шукають 114, а всього таких чисел, менших 1000, залишилось одинадцять: 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975.